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详解Python编程中基本的数学计算使用

时间:2024-3-2 14:38     作者:韩俊     分类: Python



在 Python 中,对数的规定比较简单,基本在小学数学水平即可理解。

那么,做为零基础学习这,也就从计算小学数学题目开始吧。因为从这里开始,数学的基础知识列位肯定过关了。

>>> 3
3
>>> 3333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333L
>>> 3.222222
3.222222

上面显示的是在交互模式下,如果输入 3,就显示了 3,这样的数称为整数,这个称呼和小学数学一样。

如果输入一个比较大的数,第二个,那么多个 3 组成的一个整数,在 Python 中称之为长整数。为了表示某个数是长整数,Python 会在其末尾显示一个L。其实,现在的 Python 已经能够自动将输入的很大的整数视为长整数了。你不必在这方面进行区别。

第三个,在数学里面称为小数,这里你依然可以这么称呼,不过就像很多编程语言一样,习惯称之为“浮点数”。至于这个名称的由来,也是有点说道的,有兴趣可以 google.

上述举例中,可以说都是无符号(或者说是非负数),如果要表示负数,跟数学中的表示方法一样,前面填上负号即可。

值得注意的是,我们这里说的都是十进制的数。

除了十进制,还有二进制、八进制、十六进制都是在编程中可能用到的,当然用六十进制的时候就比较少了(其实时间记录方式就是典型的六十进制)。

具体每个数字,在 Python 中都是一个对象,比如前面输入的 3,就是一个对象。每个对象,在内存中都有自己的一个地址,这个就是它的身份。

>>> id(3)
140574872
>>> id(3.222222)
140612356
>>> id(3.0)
140612356
>>>

用内建函数 id()可以查看每个对象的内存地址,即身份。

内建函数,英文为 built-in Function,读者根据名字也能猜个八九不离十了。不错,就是 Python 中已经定义好的内部函数。
以上三个不同的数字,是三个不同的对象,具有三个不同的内存地址。特别要注意,在数学上,3 和 3.0 是相等的,但是在这里,它们是不同的对象。

用 id()得到的内存地址,是只读的,不能修改。

了解了“身份”,再来看“类型”,也有一个内建函数供使用type()。

>>> type(3)
<type 'int'>
>>> type(3.0)
<type 'float'>
>>> type(3.222222)
<type 'float'>

用内建函数能够查看对象的类型。<type ‘int'>,说明 3 是整数类型(Interger);<type ‘float'>则告诉我们那个对象是浮点型(Floating point real number)。与 id()的结果类似,type()得到的结果也是只读的。

至于对象的值,在这里就是对象本身了。

看来对象也不难理解。请保持自信,继续。

变量
仅仅写出 3、4、5 是远远不够的,在编程语言中,经常要用到“变量”和“数”(在 Python 中严格来讲是对象)建立一个对应关系。例如:

>>> x = 5
>>> x
5
>>> x = 6
>>> x
6

在这个例子中,x = 5就是在变量(x)和数(5)之间建立了对应关系,接着又建立了 x 与 6 之间的对应关系。我们可以看到,x 先“是”5,后来“是”6。

在 Python 中,有这样一句话是非常重要的:对象有类型,变量无类型。怎么理解呢?

首先,5、6 都是整数,Python 中为它们取了一个名字,叫做“整数”类型的数据,或者说数据类型是整数,用 int 表示。

当我们在 Python 中写入了 5、6,computer 姑娘就自动在她的内存中某个地方给我们建立这两个对象(对象的定义后面会讲,这里你先用着,逐渐就明晰含义了),就好比建造了两个雕塑,一个是形状似 5,一个形状似 6,这就两个对象,这两个对象的类型就是 int.

那个 x 呢?就好比是一个标签,当x = 5时,就是将 x 这个标签拴在了 5 上了,通过这个 x,就顺延看到了 5,于是在交互模式中,>>> x输出的结果就是 5,给人的感觉似乎是 x 就是 5,事实是 x 这个标签贴在 5上面。同样的道理,当x = 6时,标签就换位置了,贴到 6 上面。

所以,这个标签 x 没有类型之说,它不仅可以贴在整数类型的对象上,还能贴在其它类型的对象上,比如后面会介绍到的 str(字符串)类型的对象等等。

这是 Python 区别于一些语言非常重要的地方。

四则运算
按照下面要求,在交互模式中运行,看看得到的结果和用小学数学知识运算之后得到的结果是否一致

>>> 2+5
7
>>> 5-2
3
>>> 10/2
5
>>> 5*2
10
>>> 10/5+1
3
>>> 2*3-4
2

上面的运算中,分别涉及到了四个运算符号:加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)

另外,我相信看官已经发现了一个重要的公理:

在计算机中,四则运算和小学数学中学习过的四则运算规则是一样的

要不说人是高等动物呢,自己发明的东西,一定要继承自己已经掌握的知识,别跟自己的历史过不去。伟大的科学家们,在当初设计计算机的时候就想到列位现在学习的需要了,一定不能让后世子孙再学新的运算规则,就用小学数学里面的好了。感谢那些科学家先驱者,泽被后世。

下面计算三个算术题,看看结果是什么

4 + 2
4.0 + 2
4.0 + 2.0

看官可能愤怒了,这么简单的题目,就不要劳驾计算机了,太浪费了。

别着急,还是要运算一下,然后看看结果,有没有不一样?要仔细观察哦。

>>> 4+2
6
>>> 4.0+2
6.0
>>> 4.0+2.0
6.0

不一样的地方是:第一个式子结果是 6,这是一个整数;后面两个是 6.0,这是浮点数。

定义 1:类似 4、-2、129486655、-988654、0 这样形式的数,称之为整数
定义 2:类似 4.0、-2.0、2344.123、3.1415926 这样形式的数,称之为浮点数
对这两个的定义,不用死记硬背,google 一下。记住爱因斯坦说的那句话:书上有的我都不记忆(是这么的说?好像是,大概意思,反正我也不记忆)。后半句他没说,我补充一下:忘了就 google。

似乎计算机做一些四则运算是不在话下的,但是,有一个问题请你务必注意:在数学中,整数是可以无限大的,但是在计算机中,整数不能无限大。为什么呢?(我推荐你去 google,其实计算机的基本知识中肯定学习过了。)因此,就会有某种情况出现,就是参与运算的数或者运算结果超过了计算机中最大的数了,这种问题称之为“整数溢出问题”。

整数溢出问题
这里有一篇专门讨论这个问题的文章,推荐阅读:整数溢出

对于其它语言,整数溢出是必须正视的,但是,在 Python 里面,看官就无忧愁了,原因就是 Python 为我们解决了这个问题,请阅读下面的拙文:大整数相乘

ok!看官可以在 IDE 中实验一下大整数相乘。

>>> 123456789870987654321122343445567678890098876*1233455667789990099876543332387665443345566
152278477193527562870044352587576277277562328362032444339019158937017801601677976183816L

看官是幸运的,Python 解忧愁,所以,选择学习 Python 就是珍惜光阴了。

上面计算结果的数字最后有一个 L,就表示这个数是一个长整数,不过,看官不用管这点,反正是 Python 为我们搞定了。

在结束本节之前,有两个符号需要看官牢记(不记住也没关系,可以随时 google,只不过记住后使用更方便)

整数,用 int 表示,来自单词:integer
浮点数,用 float 表示,就是单词:float
可以用一个命令:type(object)来检测一个数是什么类型。

>>> type(4)
<type 'int'>  #4 是 int,整数
>>> type(5.0)
<type 'float'> #5.0 是 float,浮点数
type(988776544222112233445566778899887766554433221133344455566677788998776543222344556678)
<type 'long'>  # 是长整数,也是一个整数

除法
除法??拢?唤鍪 Python。

整数除以整数
进入 Python 交互模式之后(以后在本教程中,可能不再重复这类的叙述,只要看到>>>,就说明是在交互模式下),练习下面的运算:

>>> 2 / 5
0
>>> 2.0 / 5
0.4
>>> 2 / 5.0
0.4
>>> 2.0 / 5.0
0.4

看到没有?麻烦出来了(这是在 Python2.x 中),按照数学运算,以上四个运算结果都应该是 0.4。但我们看到的后三个符合,第一个居然结果是 0。why?

因为,在 Python(严格说是 Python2.x 中,Python3 会有所变化)里面有一个规定,像 2/5 中的除法这样,是要取整(就是去掉小数,但不是四舍五入)。2 除以 5,商是 0(整数),余数是 2(整数)。那么如果用这种形式:2/5,计算结果就是商那个整数。或者可以理解为:整数除以整数,结果是整数(商)。

比如:

>>> 5 / 2
2
>>> 7 / 2
3
>>> 8 / 2
4

注意:得到是商(整数),而不是得到含有小数位的结果再通过“四舍五入”取整。例如:5/2,得到的是商 2,余数 1,最终5 / 2 = 2。并不是对 2.5 进行四舍五入。

浮点数与整数相除
这个标题和上面的标题格式不一样,上面的标题是“整数除以整数”,如果按照风格一贯制的要求,本节标题应该是“浮点数除以整数”,但没有,现在是“浮点数与整数相除”,其含义是:

假设:x 除以 y。其中 x 可能是整数,也可能是浮点数;y 可能是整数,也可能是浮点数。
出结论之前,还是先做实验:

>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5
>>> 9.0 / 2.0
4.5

>>> 8.0 / 2
4.0
>>> 8 / 2.0
4.0
>>> 8.0 / 2.0
4.0

归纳,得到规律:不管是被除数还是除数,只要有一个数是浮点数,结果就是浮点数。所以,如果相除的结果有余数,也不会像前面一样了,而是要返回一个浮点数,这就跟在数学上学习的结果一样了。

>>> 10.0 / 3
3.3333333333333335

这个是不是就有点搞怪了,按照数学知识,应该是 3.33333...,后面是 3 的循环了。那么你的计算机就停不下来了,满屏都是 3。为了避免这个,Python 武断终结了循环,但是,可悲的是没有按照“四舍五入”的原则终止。当然,还会有更奇葩的出现:

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
>>> 0.1 + 0.1 - 0.2
0.0
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.3
5.551115123125783e-17
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.2
0.10000000000000003

越来越糊涂了,为什么 computer 姑娘在计算这么简单的问题上,如此糊涂了呢?不是 computer 姑娘糊涂,她依然冰雪聪明。原因在于十进制和二进制的转换上,computer 姑娘用的是二进制进行计算,上面的例子中,我们输入的是十进制,她就要把十进制的数转化为二进制,然后再计算。但是,在转化中,浮点数转化为二进制,就出问题了。

例如十进制的 0.1,转化为二进制是:0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

也就是说,转化为二进制后,不会精确等于十进制的 0.1。同时,计算机存储的位数是有限制的,所以,就出现上述现象了。

这种问题不仅仅是 Python 中有,所有支持浮点数运算的编程语言都会遇到,它不是 Python 的 bug。

明白了问题原因,怎么解决呢?就 Python 的浮点数运算而言,大多数机器上每次计算误差不超过 2**53 分之一。对于大多数任务这已经足够了,但是要在心中记住这不是十进制算法,每个浮点数计算可能会带来一个新的舍入错误。

一般情况下,只要简单地将最终显示的结果用“四舍五入”到所期望的十进制位数,就会得到期望的最终结果。

对于需要非常精确的情况,可以使用 decimal 模块,它实现的十进制运算适合会计方面的应用和高精度要求的应用。另外 fractions 模块支持另外一种形式的运算,它实现的运算基于有理数(因此像 1/3 这样的数字可以精确地表示)。最高要求则可是使用由 SciPy 提供的 Numerical Python 包和其它用于数学和统计学的包。列出这些东西,仅仅是让看官能明白,解决问题的方式很多,后面会用这些中的某些方式解决上述问题。

关于无限循环小数问题,我有一个链接推荐给诸位,它不是想象的那么简单呀。请阅读:维基百科的词条:0.999...,会不会有深入体会呢?

补充一个资料,供有兴趣的朋友阅读:浮点数算法:争议和限制
Python 总会要提供多种解决问题的方案的,这是她的风格。

引用模块解决除法--启用轮子
Python 之所以受人欢迎,一个很重重要的原因,就是轮子多。这是比喻啦。就好比你要跑的快,怎么办?光天天练习跑步是不行滴,要用轮子。找辆自行车,就快了很多。还嫌不够快,再换电瓶车,再换汽车,再换高铁...反正你可以选择的很多。但是,这些让你跑的快的东西,多数不是你自己造的,是别人造好了,你来用。甚至两条腿也是感谢父母恩赐。正是因为轮子多,可以选择的多,就可以以各种不同速度享受了。

轮子是人类伟大的发明。

Python 就是这样,有各种轮子,我们只需要用。只不过那些轮子在 Python 里面的名字不叫自行车、汽车,叫做“模块”,有人承接别的语言的名称,叫做“类库”、“类”。不管叫什么名字吧。就是别人造好的东西我们拿过来使用。

怎么用?可以通过两种形式用:

形式 1:import module-name。import 后面跟空格,然后是模块名称,例如:import os
形式 2:from module1 import module11。module1 是一个大模块,里面还有子模块 module11,只想用 module11,就这么写了。
不??铝耍?笛橐桓觯?/p>

>>> from __future__ import division
>>> 5 / 2
2.5
>>> 9 / 2
4.5
>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5

注意了,引用了一个模块之后,再做除法,就不管什么情况,都是得到浮点数的结果了。

这就是轮子的力量。

余数
前面计算 5/2 的时候,商是 2,余数是 1

余数怎么得到?在 Python 中(其实大多数语言也都是),用%符号来取得两个数相除的余数.

实验下面的操作:

>>> 5 % 2
1
>>> 6%4
2
>>> 5.0%2
1.0

符号:%,就是要得到两个数(可以是整数,也可以是浮点数)相除的余数。

前面说 Python 有很多人见人爱的轮子(模块),她还有丰富的内建函数,也会帮我们做不少事情。例如函数 divmod()

>>> divmod(5,2) # 表示 5 除以 2,返回了商和余数
(2, 1)
>>> divmod(9,2)
(4, 1)
>>> divmod(5.0,2)
(2.0, 1.0)

四舍五入
最后一个了,一定要坚持,今天的确有点??铝恕R?迪炙纳嵛迦耄?芗虻ィ?褪悄诮ê???ound()

动手试试:

>>> round(1.234567,2)
1.23
>>> round(1.234567,3)
1.235
>>> round(10.0/3,4)
3.3333

标签: python

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